Pomeranchuk不稳定性与量子霍尔效应中的向列相

作者:孙宇晨 来源:www.5idf.cn 2020-09-06   阅读:

我们讨论这一两年被提出的量子霍尔效应实验结果,其中一个亮点在于:实验学家观测到v=5/2的量子霍尔态,在外加强压之下,可以从一个有能隙的绝缘态进入一个没有能隙的物质态,并且旋转对称性被自发地破坏了。白话地讲,即便我们施加的强压没有方向性的差异,但测量到的电阻值在x方向与y方向有极大的差异。目前这被认为是v=5/2量子霍尔态可以从一个拓朴态(像Moore-Read / Pfaffian波函数这样的基态)进入到对称破坏态(上文所讨论的向列相(nematic phase ))的观测证据。

我们也指出,眼下这个现象还没有完备的理论解释,但我们有一些提议来说明哪些物理机制在定性上会导致这些结果。在本文中我们将说明其中一个机制—由费米液体中的Pomeranchuk 不稳定性造成的向列相,与复合费米子的兰道参数(Landau parameter)有没有办法导致这个不稳定性。

之所以跟费米液体有关系,是因为其中一个理论解释是透过复合费米子(composite fermion)形成的费米液体(Fermi liquid)来描述霍尔量子态,并透过破坏圆形的费米面(Fermi surface)来破坏旋转对称。(这也是为什么笔者之前会想要花篇幅解释负荷费米子与费米液体等概念,因为他们无所不在。)

回顾我们在讨论v=5/2 量子霍尔态的直观图像时,我们说在兰道阶(Landau level)半填满时,复合费米子们会形成一个费米海,在旋转对称性没有被破坏时,每个费米子的准粒子能量是动量的函数,而费米海在动量空间会形成一个球,在二维空间就是一个圆形。

要让它变形,我们必须让这个圆形不稳定。读者在文献中若读到所谓让费米面不稳定,意思是让这个球状的费米海不再是具有最低能量的状态。一个有名的方法就是让费米子们形成超导体,则在费米面附近的费米子们就会形成古柏对(Cooper pair)而凝聚。另外一种考量是调整模型中的一些参数让别的几何形状比圆形拥有更低的能量。在之前的文章中我们也说明过,费米液体理论里的交互作用是由一系列的现象学参数,兰道参数(Landau parameters)来代表,在文献中我们常写成F 1 ,F 2 …, F ℓ ,其中下标的数字ℓ代表这个散射频道的角动量数。


Figure1. 我们用本图说明什么叫做费米面产生不稳定。假设我们从一个圆形的费米面出发(绿色曲线,这个意思是所有费米子具有的动量都被这个圆圈匡着),稍稍将费米面变形后(樱桃色虚线),我们可以计算前后两个费米面能量的差。又这个分布可以被分解为不同「角动量」的频道(下列所示)。(Photo credit: 作者自绘)

用图像来说明的话,我们可以考虑底下这样一个脚本。首先我们从原来圆形分布的费米子密度开始,然后稍微改变一下这个分布。在图一中我们画出了不同频道ℓ 所制造出的分布形状。要检验有没有其他形状的费米子分布可以有更低的能量,想法也很简单— 我们就计算新粒子分布跟旧粒子分布之间能量差,看看哪个分布的能量比较低。如果被变形后的费米海反而有较低的能量,我们就称费米面有一个不稳定性。

因为费米子间的交互作用都用兰道参数表示,读者们可以想像分布的能量也会依赖于兰道参数。在图二中,我们把能量差  δE 对二维费米子分布的变形量  δn作图,并且我们针对某个频道ℓ画出在费米液体理论框架下不同量值的兰道参数F ℓ  对能量差的影响。结论就是在F ℓ = -1这个点,能量差由正转负,变形后的分布反而比原来的圆形分布稳定,这就是标题里所提的Pomeranchuk不稳定性。


Figure2. 在费米液体的框架下,我们考虑某个角动量的频道然后绘制能量跟变形量大小的关系图。由图清晰可见,当兰道参数比-1 还要小的时候,原来圆形费米面会有较高的能量。(Photo credit: 作者自绘)

特别是当ℓ = 2 时,新的基态分布是一个向列态。

假若我们想要把这个故事套用到量子霍尔跟向列态的相变化上,我们就要问,那么这个不稳定性有可能在兰道阶中实现吗?更实际点说,我们有办法从一个够真实的物理系统出发,进而计算霍尔系统中的兰道参数,然后验证这是一个可能的物理机制吗?

今年二月由新近诺贝尔奖得主D. Haldane 所带领的团队使用变分蒙地卡罗(variational Monte Carlo)的数值方法,计算一个被静电屏蔽的库伦交互作用所对应的兰道参数[1] 。他们分别计算了n=0,1,2 的兰道阶,对应到量子态v=1/2,5/2,9/2,在不同系统「厚度」下,ℓ=2,3,4, 5 的兰道参数。

他们主要的发现如下:

(i) 在n=0,(v=1/2) 的部分,完全没有Pomeranchuk 不稳定性的迹象。

(ii)在n=1,2而且ℓ = 2时,当系统厚度低于某一个程度,F 2 都会掉到-1以下,其中n=2不稳定的范围又比n=1大。这和实验上所观测到的也定性吻合:在较高的兰道阶中,旋转对称较容易自发被破坏。

(iii) 在其他散射的频道ℓ=3,4,5 兰道参数都不足以启动对应的Pomeranchuk 不稳定性。

虽然他们没办法将复合费米子的超导体效应纳入计算,而且在定量上的预测也还跟实验不尽相符合(譬如从数值结果判断,v=5/2,应该不用特别条件也能启动Pomeranchuk 不稳定性,但实验上却需要特殊的压力。)但他们的研究是第一次有团队以计算指出,从微观旋转对称的位能计算出的兰道参数也能引发对称性的破坏,并且他们的结果意味着,当系统的厚度越小,越接近真实的二维系统,那么在高层兰道阶系统其实是更不可避免的往向列相靠拢。

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