何处停车?物理学家的停车策略

作者:孙宇晨 来源:www.5idf.cn 2020-09-06   阅读:

当骑着U-bike到停车站时,面对眼前的这个空位,究竟是要放弃它继续往下骑,期待着离捷运出口更近的空位,但却会冒着其他位置都满,结果只能被迫折返的风险呢,还是保守的选择它,但看见后面满满的空位,最后懊悔自己多走了一大段路。究竟怎样的选择是最有效率的? 波斯顿大学的两位统计物理学家Krapivsky和Redner 在Journal of Statistical Mechanics上发表了他们的研究。

在Krapivsky和Redner的模型中,他们以时间花费作为衡量效率的量尺。当然,离目的地最近的车位可以走最少的路,但可能要多耗费折返的时间来发现它。于是驾驶员面对空位的取舍影响了他们停完车再走到目的地需要耗费的时间。Redner 说:「数学让你能做最聪明的选择,它让你能洞悉这个复杂的世界」。

Krapivsky和Redner在论文中针对一个理想一维的停车场(图一)提出了三种选择策略,分别是温顺(meek)、谨慎(prudence)和乐观(optimistic),温顺的驾驶员在进入停车场时会停在最右边,而谨慎的驾驶员会停在第一个空隙的最左,至于乐观的驾驶则是会开到底,折返停在离目标最近的空位,后面两种策略若是遇到车阵中没有空位的情况则折返停在最右边(图二)。


图一:一台车(方块)从右边进入了一维停车场,目标在左边,圆圈代表可停车的空位,定义目标到最远的车子之间的距离为间距(span)[2]

图二:由上到下分别是温顺(meek)、谨慎(prudence)、乐观(optimistic)三种策略[2]

温顺的驾驶员

很有趣的是,车子一台接着一台接在最后面的行为可以类比为人体中微管搭建的机制,在Krapivsky和Redner的论文之中便直接利用了描述微管动力学的方程来解决这个数学难题。他们的结论是这个策略的效率非常差:整个停车的间距会被拉得非常长(正比于e^λ,λ为车的流率),然而车却都集中在入口处(图三)。在某些情况下使得停车场全空,此时整个停车的长度会重新增长。再一次的,这样全空的事件与当微管的活化端只有GDP单体时造成的崩溃十分相似。


图三: λ为车的流率,间距的长度会在上一次全空的事件后以λ的速率伸长[2]

图四:间距在时间上会有锯齿的形状[2]

乐观和谨慎的驾驶员

在乐观策略的分析上,Krapivsky和Redner在微分方程的求解上把不同位置有车停的期望值近似为个别期望值的相乘来简化这个问题,在与电脑模拟比对后得到非常接近的结果。在乐观策略上,车辆几乎全集中在最左边(图五)。而这些有车的区域是空格的机率会与车的流率和它所在的位置相关。

至于乐观策略,由于计算上的困难,Krapivsky和Redner利用模拟得到了(图六)的结果,其显示在目标附近仍有许多的空位,原因是来自驾驶只会将车停在第一个空格的最左,而更深入的位置便不会停。可以发现上述两者策略在位置大于λ的地方会有很大的落差,原因是因为当时间够长达到平衡时,停车场中的车数会等于车的流率。


图五:在乐观策略下对于是否有车在λ从200到1000的机率分布,ρ(x)代表的是在x点有车的机率密度[2]

图六:在谨慎策略下对于是否有车在λ从200到1000的机率分布[2]

最有效率的策略

对于温顺策略,新进的驾驶会将车停在间距的最右端,其长度正比于e^λ,其指数增长相对于其他两者显得没效率,不过当部分的驾驶使用其他两种策略时,驾驶可以很幸运地停在距离λ的位置。

而对于乐观和谨慎两者策略,虽然乐观的驾驶员总是比谨慎的驾驶员有更大的机率找到最接近的车位,但这个策略必定需要折返,平均下来花费的时间比使用谨慎策略的驾驶员要长。(图七)


(图七)(a)是谨慎策略的路程,(b)是乐观策略的路程,而上面是有空位的的情况,下是全满的情况[2]

Krapivsky和Redner最后得到了温顺、谨慎和乐观三种策略之中,谨慎的策略具有相对高的效率,但是他们也提到在现实生活中驾驶更多的是依靠直觉,所谓「最理想」的策略对研究者依旧是个迷人的挑战。

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